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控制理论基础
第 1 章 绪论
1.1 自动控制的任务
- 自动控制的任务
自动控制的基本任务是:在无人直接参与的情况下,只利用控制装置操纵被控对象,使被控制量等于给定值或按给定规律变化。在自动控制技术中,把工作的机器设备称为被控对象,把表征这些机器设备工作状态的物理参量称为被控量, 而对这些物理参量的要求值称为给定值或希望值(或参考输入)。
- 自动控制系统:指能够完成自动控制任务的设备,一般由控制装置和被控对象组成。
1.2 自动控制的基本方式
- 基本原件及概念
①控制装置:在图 1-1 中除被控对象外的其余部分统称为控制装置,它必须具备以下三种职能部件:
- 测量元件: 用以测量被控量或干扰量。
- 比较元件: 将被控量与给定值进行比较。
- 执行元件:根据比较后的偏差,产生执行作用,去操纵被控对象。
②参与控制的信号:给定值、干扰量、被控量。 2. 自动控制的基本方式
①开环控制:系统的输出端与输入端之间不存在反馈回路,输出量对系统的控制作用没有影响。
1)按给定值操纵的开环控制
- 特点:控制装置只按给定值来控制受控对象。
- 优点:控制系统结构简单,相对来说成本低。
- 缺点: 对可能出现的被控量偏离给定值的偏差没有任何修正能力, 抗干扰能力差, 控制精度不高。
2)按干扰补偿的开环控制
- 定义:利用干扰信号产生控制作用,以及时补偿干扰对被控量的直接影响。
- 特点: 只能对可测干扰进行补偿, 对不可测干扰以及受控对象、各功能部件内部参数变化对被控量的影响,系统自身无法控制。
- 适用于:存在强干扰且变化比较剧烈的场合。
②按偏差调节的闭环控制
- 特点:通过计算被控量和给定值的差值来控制被控对象。这种控制方式控制精度较高,因为无论是干扰的作用,还是系统结构参数的变化,只要被控量偏离给定值,系统就会自行纠偏。但是闭环控制系统的参数如果匹配得不好,会造成被控量的较大摆动,甚至系统无法正常工作。
- 优点: 可以自动调节由于干扰和内部参数的变化而引起的变动。
- 反馈:如图 1-4 所示,反馈回来的信号与给定值相减,即根据偏差进行控制,称为负反馈,反之称为正反馈。 ③ 复合控制
复合控制就是开环控制和闭环控制相结合的一种控制。实质上, 它是在闭环控制回路的基础上, 附加了一个输入信号或扰动作用的顺馈通路,来提高系统的控制精度。
1.3 对控制系统的性能要求
- 动态过程的定义:通常将系统受到给定值或干扰信号作用后,控制被控量变化的全过程称为系统的动态过程。
- 自动控制系统的基本性能指标
①稳:指动态过程的平稳性。系统在外力作用下,输出逐渐与期望值一致,则系统是稳定的,反之则是不稳定的。
②快:指动态过程的快速性,即动态过程进行的时间的长短。过程时间越短,说明系统快速性越好,反之说明系统响应迟钝。
稳和快反映了系统动态过程性能的好坏。既快又稳,表明系统的动态精度高。
③准:指动态过程的最终精度,即系统在动态过程结束后,其被控量(或反馈量)与给定值的偏差。这一偏差称为稳态误差, 是衡量稳态精度的指标, 反映了系统后期稳态的性能。
第 2 章 系统的数学模型
本课程采用解析法建立数学模型。
2.1 控制系统的时域模型——系统微分方程的建立
其中 为输入, 为输出, n 为系统阶数, 为系统结构决定的参数。
建立微分方程的步骤
①分析各元件的工作原理,划分、确定工作环节,明确输入、输出变量。
②建立输入、输出量的动态联系。从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量遵循的物理定律,列写动态方程, 一般为微分方程组。
③消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程。
④标准化微分方程,即将与输入有关的各项放在等号右侧,与输出有关的各项放在等号左侧,并都按降幂排列。
2.2 传递函数(Transfer Function)
- 传递函数的定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下,输出量与输入量的拉氏变换之比,称为该系统的传递函数,用 G(s) 表示,即
其中 为系统(或环节)输出量 的拉氏变换, 为系统(或环节)输入量 的拉氏变换。
初始条件为零的两重含义:
① 输入作用是 后才加于系统的,因此输入量及其各阶导数,在 时的值为零。
②输入信号作用于系统之前系统是静止的,即 时,系统的输出量及各阶导数为零。
- 传递函数的几种形式
形式 | 表达式 | 参数关系 |
有理分式形式 (多项式形式) | ㅤ | |
零极点形式 | 其中 zi 为系统的零点, pi 为系统的极点, K0 为系统增益因子, k 为传递函数的传递系数(也称为系统的根轨迹增益) | = |
时间常数形式 | 其中 为各环节的时间常数, 为系统增益, 为阻尼比 | ㅤ |
- 传递函数的性质
①传递函数仅适用于线性定常系统,否则无法用拉氏变换导出。
②传递函数完全取决于系统内部的结构、参数,而与输入、输出、初始条件无关。
③传递函数只表明一个特定的输入、输出关系,对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数。
④传递函数只描述系统的输入输出关系,不不反映系统的物理组成,物理结构不同的系统,传递函数可能相同。
⑤传递函数是关于复变量 s 的有理真分式,它的分子、分母的最高阶次 m 、 n 满足
⑥传递函数分母多项式 D(s) 是系统特征多项式,其阶次代表系统的阶次, 的根是系统的特征根。
⑦传递函数是关于复变量 s 的有理分式,分子分母多项式系数是实数,若传递函数具有复数零极点,必共轭出现。
⑧一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。
⑨传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数,因为
当 时, ,所以
⑩传递函数是在零初始条件下建立的,因此,它只是系统的零状态模型,有一定的局限性,但它有现实意义,而且容易实现。
- 典型环节的传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积, 每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式如下表:
环节 | 运动方程 | 传递函数 | 特点 |
比例环节 (放大环节) | 输入输出成比例,无 失真和延迟 | ||
积分环节 | 具有记忆功能 |
环节 | 运动方程 | 传递函数 | 特点 |
纯微分环节 | 输出是输入的一阶 导数 | ||
一阶微分环节 (输出量相位超前输入量) | 输出是输入与其一 阶导数的加权和 | ||
二阶微分环节 (输出量相位超前输入量) | 环节具有一对共轭 复零点 | ||
二阶振荡环节 | 两个储能元件能量 交换, 出现振荡 | ||
惯性环节 (输出量相位滞后输出量) | 输出与其一阶导数 的加权和等于输入 | ||
延迟环节 (时滞环节) | 输出经过延迟时间 后完全复现输入 |
注: 其中 K 为放大系数, τ 、 T 为时间常数, ζ 为阻尼比。在延迟环节中 τ 表示延迟时间。
2.3 动态结构图
动态结构图是一种数学模型, 采用它将更便于求传递函数, 同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
- 动态结构图的概念
系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种,即信号线、传递方框、综合点和引出点。
①信号线:表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。
②传递方框:方框的两侧为输入信号线和输出信号线,方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s) 。
③综合点(相加点):表示几个信号相加、减,叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和,负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
④引出点(分支点):表示同一信号传输到几个地方。
- 动态结构图的基本连接形式
①串联连接:方框与方框通过信号线相连,前一个方框的输出作为后一个方框的输入。
②并联连接:两个或两个以上的方框,具有同一个输入信号,并以各方框输出信号的代数和作为输出信号。
③反馈连接:一个方框的输出信号输入到另一个方框后,得到的输出再返回到这个方框的输入端,构成输入信号的一部分。
- 系统动态结构图的构成
①构成原则:按照动态结构图的基本连接形式,构成系统的各个环节,连接成系统的动态结构图。
② 列写系统方程组的要求
- 从输出量开始写第一个方程, 输出量放在方程左边, 其余放在右边;
- 后续方程左边只有一个量,它是前述方程的中间变量;
- 列写方程式时尽量用已出现过的量;
- 中间变量至少要在一个方程的左边出现一次；
- 输入量至少要在一个方程的右边出现一次。
- 结构图的等效变换
- 梅森(Mason)公式
其中 G(s) 为待求的总传递函数; n 为前向通道数; Pk 为从输入端到输出端第 k 条前向通路的总传递函数; Δ 为特征式, 且
Δk 为在 Δ 中,将与第 k 条前向通路相接触的回路所在项去除后余下的部分,称为余子式; 为所有各回路的 “回路传递函数” 之和; 为所有两两不接触的回路,其 “回路传递函数” 乘积之和; 为所有三个互不接触的回路,其 “回路传递函数” 乘积之和。
“回路传递函数”指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积, 并且包含代表反馈极性的正、负号。 例 用 Mason 公式求如下回路的传递函数。
6. 信号流图
①基本术语
- 节点: 表示变量的点,分 3 种:
- 输入节点(源点): x1 ,只包含输出支路的点,代表输入变量,画在左侧。
- 输出节点(陷点): x6 ,只包含输入支路的点,代表输出变量,画在右侧。
- 混合节点: x2 ∼ x5 ,既有输入支路的点,又有输出支路的点,代表中间变量。
- 支路:连接两节点之间的定向线段。
- 支路传输(支路增益):两节点的增益,通常写在支路上方。
- 通路:沿箭头方向,穿过各相连支路的途径。
- 开通路: 通路的起点与终点不是一个节点,与每一节点最多相交一次。如 x1x2x3x4、x1x3x4x5 。
- 闭通路 (回路): 起点与终点为同一节点,与其它节点最多相交一次。如 x2x3x2、x2x3x4x2、x4 (自回路)。
- 前向通路: 起点为输入节点,终点为输出节点的开通路。如 x1x2x3x4x5x6、x1x3x4x5x6 。
- 不接触回路: 回路之间没有公共节点。如 x2x3x2 和 x4x5x4 。
- 接触回路: 回路之间有公共节点。如 x2x3x2 和 x2x3x4x2、x4 和 x4x5x4 。
- 回路增益:回路经过各个支路增益的乘积。如 xxxx 的增益为 −bcg 。
- 前向通路的增益:前向通路经过各个支路增益的乘积。如 abcd 、 ced 。
- ②方框图画信号流图的规则
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- 一个节点代表一个框的输入量或输出量或分支点与比较点;
- 每一条画有箭头的线段代表一个框;
- 求和单元中反号运算, 相应的传函反号。
2.4 典型反馈系统的传递函数
反馈系统的输入有控制输入和干扰输入,因此其输出为由控制作用和干扰作用产生的输出之和。
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B 闭环系统的特征方程式:无论是系统传递函数还是偏差传递函数,它们都拥有相同的分母(称为闭环系统的特征方程式)。这就是闭环系统的本质特征它与输入无关, 仅与系统本身的结构和参数有关。
第 3 章 时域分析法
3.1 时域分析基础
- 时域分析法的特点
时域分析法主要是根据系统微分方程,通过拉氏变换,直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能,并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法,而且比较准确,可以提供系统时间响应的全部信息。
2. 典型控制过程
①典型初始状态
通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前, 被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零,系统处于相对平衡状态,也即在 t = 0− 时,
$$
c\left( {0}^{ - }\right) = \dot{c}\left( {0}^{ - }\right) = \ddot{c}\left( {0}^{ - }\right) = \cdots = 0
$$
②典型外作用
> 单位脉冲信号图示中 1 代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的,它是某些物理现象经数学抽象化的结果。
③ 典型时间响应
初状态为零的系统,在典型输入作用下输出量的动态过程,称为典型时间响应。
ㅤ | 单位阶跃响应 | 单位斜坡响应 | ㅤ | 单位脉冲响应 |
定义 | 系统在单位阶跃输入 r(t) = 1(t) 作用下的响应 | 系统在单位斜坡输入 r(t) = t × 1(t) 作用下的响应 | ㅤ | 系统在单位脉冲输入 r(t) = δ(t) 作用下的响应 |
常用表示 | h(t) | ct(t) | ㅤ | k(t) |
拉氏变换 | $H\left( s\right) = \Phi \left( s\right) \cdot \frac{1}{s}$ | ${C}_{t}\left( s\right) = \Phi \left( s\right) \cdot \frac{1}{{s}^{2}}$ | ㅤ | K(s) = Φ(s) |
三种响应 的关系 | 时域表示 h(t) = ∫0tk(τ)dτ ct(t) = ∫0th(τ)dτ | ㅤ | s 域表示 $H\left( s\right) = \Phi \left( s\right) \cdot \frac{1}{s} = K\left( s\right) \cdot \frac{1}{s}$ ${C}_{t}\left( s\right) = \Phi \left( s\right) \cdot \frac{1}{{s}^{2}} = K\left( s\right) \cdot \frac{1}{{s}^{2}} = H\left( s\right) \cdot \frac{1}{s}$ | ㅤ |
注: 其中 Φ(s) 为系统的闭环传递函数。
④时间响应的性能指标(以单位阶跃响应曲线定义)
- 延迟时间 td : 指 h(t) 曲线从零上升到稳态值 50% 的时间。
- 上升时间 tr : 指 h(t) 曲线从稳态值 10% 上升到 90% 的时间; 对欠阻尼系统,指从零第一次到达稳态值的时间。
- 峰值时间 tp : 指 h(t) 曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值的时间。
- 调节时间 ts : 指响应曲线中, h(t) 进入稳态值附近 ±5% 或 ±2% 误差带, 而不再超出的最小时间。
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图 3-1 阶跃响应的性能指标
- 最大超调量 σp% : 指 h(t) 中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。
- 稳态误差 ess : 指响应的稳态值与期望值之差,即
$$
{\sigma }_{\mathrm{p}}\% = \frac{h\left( {t}_{\mathrm{p}}\right) - h\left( \infty \right) }{h\left( \infty \right) } \times {100}\%
$$
- 振荡次数 N : 在 0 ≤ t ≤ t 时间内, h(t) 曲线穿越稳态值次数的一半。
s
> σ%, ts, ess 三项指标是针对阶跃输入而言的; 对于非阶跃输入,其响应只有稳态误差 ess 而没有 σ% 和 ts 。
3.2 一阶系统的时域分析
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
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图 3-3 一阶系统的单位阶跃响应
- 一阶系统的数学模型 ( T 为时间常数)
①微分方程
$$
T\frac{\mathrm{d}c\left( t\right) }{\mathrm{d}t} + c\left( t\right) = r\left( t\right)
$$
②传递函数
$$
\Phi \left( s\right) = \frac{C\left( s\right) }{R\left( s\right) } = \frac{1}{{Ts} + 1}
$$
- 一阶系统的单位阶跃 r(t) = 1(t) 响应
①响应的时域表达式
$$
c\left( t\right) = 1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T}}, t \geq 0
$$
②性能指标
- 平稳性 σ% : 非周期,无振荡, σ% = 0 。
- 快速性 ts : ts(5%) = 3T; ts(2%) = 4T 。
3) 准确性 ess : ess = 1 − c(∞) = 0 ,没有稳态误差。
- 典型常见函数拉氏变换表
序号 | 原函数 f(t) (t > 0) | 象函数 F(s) = L[f(t)] | 序号 | 原函数 f(t) (t > 0) | 象函数 F(s) = L[f(t)] |
1 | 1(t) | $\frac{1}{s}$ | 7 | tne−at(n = 1, 2, ⋯) | $\frac{n!}{{\left( s + a\right) }^{n + 1}}$ |
2 | δ(t) | 1 | 8 | $\frac{1}{T}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T}}$ | $\frac{1}{{Ts} + 1}$ |
3 | K | $\frac{K}{s}$ | 9 | sin ωt | $\frac{\omega }{{s}^{2} + {\omega }^{2}}$ |
4 | t | $\frac{1}{{s}^{2}}$ | 1 0 | cos ωt | $\frac{s}{{s}^{2} + {\omega }^{2}}$ |
5 | tn(n = 1, 2, ⋯) | $\frac{n!}{{s}^{n + 1}}$ | 1 1 | e−atsin ωt | $\frac{\omega }{{\left( s + a\right) }^{2} + {\omega }^{2}}$ |
6 | e−at | $\frac{1}{s + a}$ | 12 | e−atcos ωt | $\frac{s}{{\left( s + a\right) }^{2} + {\omega }^{2}}$ |
3.3 二阶系统的时域分析
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
1. 二阶系统的数学模型
①微分方程
$$
\frac{{\mathrm{d}}^{2}c\left( t\right) }{\mathrm{d}{t}^{2}} + {2\zeta }{\omega }_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{d}c\left( t\right) }{\mathrm{d}t} + {\omega }_{\mathrm{n}}^{2}c\left( t\right) = {\omega }_{\mathrm{n}}^{2}r\left( t\right)
$$
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图 3-4 二阶系统的反馈结构图
其中 ζ 为阻尼比, ωn = 1/T 为无阻尼自然谐振角频率 (rad/s) 。
$$
G\left( s\right) = \frac{{\omega }_{\mathrm{n}}^{2}}{s\left( {s + {2\zeta }{\omega }_{\mathrm{n}}}\right) }
$$
$$
\text{环传递函数}\;\Phi \left( s\right) = \frac{C\left( s\right) }{R\left( s\right) } = \frac{G\left( s\right) }{1 + G\left( s\right) } = \frac{{\omega }_{\mathrm{n}}^{2}}{{s}^{2} + {2\zeta }{\omega }_{\mathrm{n}}s + {\omega }_{\mathrm{n}}^{2}} = \frac{1}{{T}^{2}{s}^{2} + {2\zeta Ts} + 1}
$$
- 二阶系统的特征根分析
二阶系统的特征方程为 | s2 + 2ζωns + ωn2 = 0 |
解方程得特征根 | ${s}_{1,2} = - \zeta {\omega }_{\mathrm{n}} \pm {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\zeta }^{2} - 1}$ |
3. 二阶系统的单位阶跃响应
①过阻尼 (ζ > 1) 状态
$$
c\left( t\right) = 1 + \frac{{T}_{1}}{{T}_{2} - {T}_{1}}{e}^{-\frac{1}{{T}_{1}}t} + \frac{{T}_{2}}{{T}_{1} - {T}_{2}}{e}^{-\frac{1}{{T}_{2}}t} = 1 + \frac{{\omega }_{\mathrm{n}}}{2\sqrt{{\zeta }^{2} - 1}}\left( {\frac{{e}^{{s}_{1}t}}{-{s}_{1}} - \frac{{e}^{{s}_{2}t}}{-{s}_{2}}}\right) \left( {t \geq 0}\right)
$$
其中 ${T}_{1} = \frac{1}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}} - {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\zeta }^{2} - 1}} = - \frac{1}{{s}_{1}},{T}_{2} = \frac{1}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}} + {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\zeta }^{2} - 1}} = - \frac{1}{{s}_{2}}$ 。
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图 3-5 过阻尼系统与一阶系统单位阶跃响应的比较
> 观察知:①衰减项的幂指数的绝对值一个大,一个小。绝对值大的离虚轴远,衰减速度快,绝对值小的离虚轴近,衰减速度慢；②二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性, 没有振荡和超调, 但又不同于一阶系统; ③离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大, 离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小,有时甚至可以忽略不计。
② 欠阻尼 (0 < ζ < 1) 状态
$$
c\left( t\right) = 1 - {\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left\lbrack {\cos {\omega }_{\mathrm{d}}t + \frac{\zeta }{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}\sin {\omega }_{\mathrm{d}}t}\right\rbrack
$$
$$
= 1 - \frac{{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}t}}{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}\sin \left( {{\omega }_{\mathrm{d}}t + \varphi }\right) = {c}_{\mathrm{s}}\left( t\right) + {c}_{\mathrm{t}}\left( t\right)
$$
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图 3-6 欠阻尼二阶系统各特征参数的关系
其中阻尼振荡角频率 ${\omega }_{\mathrm{d}} = {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}},\varphi = \arctan \frac{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}{\zeta } = \arccos \zeta$ 。
> 观察知: 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值 cs(t) = 1 ,暂态分量 ct(t) 为衰减过程,振荡频率为 ωd 。
③ 无阻尼 (ζ = 0) 状态
c(t) = 1 − cos ωnt(t ≥ 0)
④临界阻尼 (ζ = 1) 状态
c(t) = 1 − (ωnt + 1)e−ωnt (t ≥ 0)
- 欠阻尼 (0 < ζ < 1) 二阶系统的动态性能指标
①上升时间 tr
$$
{t}_{\mathrm{r}} = \frac{\pi - \varphi }{{\omega }_{\mathrm{d}}} = \frac{\pi - \varphi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}
$$
②峰值时间 tp
$$
{t}_{\mathrm{p}} = \frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{d}}} = \frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}} = \frac{1}{2}{T}_{\mathrm{d}}
$$
其中 Td 为阻尼振荡周期。
③最大超调量 σ%
$$
{\sigma }_{\mathrm{p}}\% = \frac{h\left( {t}_{\mathrm{p}}\right) - h\left( \infty \right) }{h\left( \infty \right) } \times {100}\% = {e}^{\frac{-{\pi \zeta }}{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}} \times {100}\%
$$
④ 调节时间(过渡过程时间) ts
$$
{t}_{\mathrm{s}} = \frac{1}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}}\left( {\ln \frac{1}{\Delta } + \ln \frac{1}{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}}\right) \approx \left\{ \begin{array}{ll} \frac{4}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}}, & \Delta = 2\% \\ \frac{3}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}}, & \Delta = 5\% \end{array}\right.
$$
⑤ 振荡次数 N
$$
N = \frac{{t}_{\mathrm{s}}}{{T}_{\mathrm{d}}} \approx \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}{\pi \zeta }, & \Delta = 2\% \\ \frac{{1.5}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}{\pi \zeta }, & \Delta = 5\% \end{array}\right. \xrightarrow[]{\text{ 若 已知 }{\sigma }_{\mathrm{p}} = {e}^{\frac{-{\pi \zeta }}{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}},\text{ 即 }{\sigma }_{\mathrm{p}} = - \frac{\zeta \pi }{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}}\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-2}{\ln {\sigma }_{\mathrm{p}}}, & \Delta = 2\% \\ \frac{-{1.5}}{\ln {\sigma }_{\mathrm{p}}}, & \Delta = 5\% \end{array}\right.
$$
3.4 系统稳定性分析
1. 系统稳定的概念
控制系统中所有的输入信号为零,而系统输出信号保持不变的点(位置)称为平衡点(位置)。取平衡点时系统的输出信号为零。控制系统所有输入信号为零时,在非零初始条件作用下,如果系统的输出信号随时间的推移而趋于零(即系统能够自行返回到原平衡点),则称系统是稳定的；否则是不稳定的。
- 线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统的数学模型为 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}\frac{{\mathrm{d}}^{k}}{\mathrm{\;d}{t}^{k}}c\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{m}{b}_{k}\frac{{\mathrm{d}}^{k}}{\mathrm{\;d}{t}^{k}}r\left( t\right)$
由拉氏变换,有
$$
C\left( s\right) = \frac{{b}_{m}{s}^{m} + {b}_{m - 1}{s}^{m - 1} + \cdots + {b}^{1}s + {b}_{0}}{{s}_{n} + {a}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}s + {a}_{0}}R\left( s\right) + \frac{{N}_{0}\left( s\right) }{{s}_{n} + {a}_{1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}^{n - 1}s + {a}^{n}}
$$
令
$$
{C}_{0}\left( s\right) = \frac{{N}_{0}\left( s\right) }{{s}_{n} + {a}_{1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}^{n - 1}s + {a}^{n}}
$$
则 c0(t) 中含有 eσt (单根), tieσt (重根), eσtsin (ωt + φ) (复根), eσttisin (ωt + φi + 1) (重复根) 因子。线性定常系统稳定的充分必要条件是
$$
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{c}_{0}\left( t\right) = 0
$$
即此时系统闭环极点 (特征根) 全都具有负实部,全都分布在 s 平面左半部。
> 关于稳定性的说明:
①线性系统的稳定性是本身固有特性,与外界输入信号无关。
②稳定的系统,单位冲激响应及输出信号中的瞬态分量都趋于零。
③实际物理系统不稳定时,变量往往形成大幅值的等幅振荡,或趋于最大值。
④ 有实部为零(位于虚轴上)的极点,其余极点都具有负实部,是等幅振荡状态,称临界稳定。工程上临界稳定为不稳定。
- 劳斯(Routh)稳定判据
①Routh 判据概述
高阶系统求根的工作量很大, 因此采用 Routh 判据, 对方程的系数做简单计算, 可确定正实部根的个数, 从而判定系统稳定性。
若系统的特征方程为
D(s) = ansn + an − 1sn − 1 + ⋯ + a1s + a0 = 0
则系统稳定的必要条件为特征方程不缺项,所有系数均为正值。 ②Routh 表
由系统的特征方程可得 Routh 表如下:
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则系统稳定的充分必要条件是(Routh 判据):Routh 表中第一列所有元素的计算值均大于零。
> 几点说明:
- 如果第一列中出现一个小于零的值, 系统就不稳定;
- 如果第一列中有等于零的值, 说明系统处于临界稳定状态;
- 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目, 即系统中不稳定根的个数。
③Routh 判据的特殊情况
- Routh 表任一行中第一个元素为零,其余元素不全为零。此时系统在 s 平面内存在两个大小相等、符号相反的实根或存在两个共轭纯虚根。
> 解决方法: 用一个小正数 ε → 0+ 代替零元素继续列表。若 ε 与其上项或下项的符号相反,记作一次符号变化。
- Routh 表任一行 (第 k 行) 中所有元素均为零。此时方程中有一对大小相等、符号相反的实根,或一对纯虚根, 或对称于 s 平面原点的共轭复根。
解决方法: 列表时先用全零行的上一行(第 k − 1 行)构成辅助方程,它的根就是原方程的特殊根。再将辅助方程求导,用求导后的方程代替全零行。
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图 3-7 控制系统典型结构
3.5 控制系统的稳态误差
- 稳态误差的基本概念
① 误差:设 cr(t) 为被控量的希望值,则定义误差为被控量的希望值与实际值之差,即
e1(t) = cr(t) − c(t)
②稳态误差:误差信号的稳态分量。由参考输入信号 r(t) 和扰动信号 n(t) 引起的稳态误差,它们与系统的结构和参数、信号的函数形式(阶跃、斜坡或加速度)以及信号进入系统的位置有关。这些误差又称原理性误差。
③ cr(t) 与 r(t) 的关系:偏差信号 e(t) = 0 时的被控量的值 c(t) 就是希望值 cr(t) 。
④偏差与误差
- H(s) = 1 时,偏差信号就是误差信号; H(s) ≠ 1 (非单位反馈)时,先求稳态偏差,再求误差信号。
- R(s) 和 N(s) 都存在时,用叠加原理求总偏差。
- 利用终值定理求稳态误差
若 ${e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( t\right)$ 存在,或 sE(s) 得全部极点 (原点除外) 都有负实部,则
$$
{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( t\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}e\left( t\right) = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{sE}\left( s\right)
$$
其中 E(s) 为为误差 e(t) 的拉氏变换,可以写成
E(s) = ΦER(s)R(s) + ΦEN(s)N(s)
= ER(s) + EN(s)
其中 ΦER(s) 为系统对输入信号的误差传递函数, ΦEN(s) 为系统对干扰的误差传递函数, ER(s) 为输入信号引起的误差的拉氏变换式, EN(s) 为干扰引起的误差的拉氏变换式。
3. 系统的型别与参考输入的稳态误差
γ 型系统时间常数形式的开环传递函数为
$$
{G}_{k}\left( s\right) = \frac{{KN}\left( s\right) }{{s}^{\gamma }D\left( s\right) }\frac{K\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{l}{\left( {\tau }_{i}s + 1\right) }^{\frac{\frac{1}{2}\left( {m - l}\right) }{\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{\tau }_{i}s + 2{\zeta }_{i}{\tau }_{i}s + 1}\right) }}}{{s}^{\gamma }\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{h}{\left( {T}_{j}s + 1\right) }^{\frac{1}{2}\left( {n - \gamma - h}\right) }\left( {{T}_{j}^{2}{s}^{2} + 2{\zeta }_{j}{T}_{j}s + 1}\right) }
$$
其中 K 称为开环增益 (即开环传函中,各典型环节的常数项均为 1 时的系数), γ 称为系统的型别 (积分环节数目)。则 γ 型系统偏差的闭环传递函数为
$$
{\Phi }_{e}\left( s\right) = \frac{1}{1 + G\left( s\right) H\left( s\right) } = \frac{{s}^{\gamma }D\left( s\right) }{{s}^{\gamma }D\left( s\right) + {KN}\left( s\right) }
$$
由此, 对于单位负反馈系统, 有
$$
E\left( s\right) = \frac{1}{1 + G\left( s\right) }R\left( s\right) \Rightarrow {sE}\left( s\right) = s\frac{1}{1 + G\left( s\right) }R\left( s\right)
$$
① 单位阶跃输入 r(t) = 1(t) 下的系统稳态误差
$$
{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{sE}\left( s\right) = \frac{1}{1 + \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{G}_{k}\left( s\right) } = \frac{1}{1 + {K}_{p}}
$$
其中稳态位置误差系数 ${K}_{p} = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{G}_{k}\left( s\right)$ ,且有
$$
{K}_{p} = \left\{ {\begin{array}{ll} K, & \gamma = 0 \\ \infty , & \gamma \geq 1 \end{array} \Rightarrow {e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{1 + K}, & \gamma = 0 \\ 0, & \gamma \geq 1 \end{array}\right. }\right.
$$
② 单位斜坡输入 r(t) = t 下的系统稳态误差
$$
{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{sE}\left( s\right) = \frac{1}{\mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}s{G}_{k}\left( s\right) } = \frac{1}{{K}_{v}}
$$
其中稳态速度误差系数 ${K}_{v} = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}s{G}_{k}\left( s\right)$ ,且有
$$
{K}_{v} = \left\{ {\begin{array}{ll} 0, & \gamma = 0 \\ K, & \gamma = 1 \\ \infty , & \gamma \geq 2 \end{array} \Rightarrow {e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty , & \gamma = 0 \\ \frac{1}{K}, & \gamma = 1 \\ 0, & \gamma \geq 2 \end{array}\right. }\right.
$$
③ 单位抛物线输入 r(t) = t2/2 下的系统稳态误差
$$
{e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{sE}\left( s\right) = \frac{1}{\mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{s}^{2}{G}_{k}\left( s\right) } = \frac{1}{{K}_{a}}
$$
其中稳态加速度误差系数 ${K}_{a} = \mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow 0}}{s}^{2}{G}_{k}\left( s\right)$ ,且有
$$
{K}_{a} = \left\{ {\begin{array}{ll} 0, & \gamma = 0,1 \\ K, & \gamma = 2 \\ \infty , & \gamma \geq 3 \end{array} \Rightarrow {e}_{\mathrm{{ss}}}\left( \infty \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty , & \gamma = 0,1 \\ \frac{1}{K}, & \gamma = 2 \\ 0, & \gamma \geq 3 \end{array}\right. }\right.
$$
r(t) 型别 | 1(t) | t | $\frac{1}{2}{t}^{2}$ |
0 (有差系统) | $\frac{1}{1 + K}$ | ∞ | ∞ |
1 | 0 | $\frac{1}{K}$ | co |
2 | 0 | 0 | $\frac{1}{K}$ |
> 减小或消除参考输入信号的稳态误差的方法: 提高系统开环放大系数和型别数。
4. 扰动信号的稳态误差
偏差信号 E(s) 对扰动信号 N(s) 的闭环传递函数为
$$
{\Phi }_{\mathrm{{EN}}}\left( s\right) = \frac{E\left( s\right) }{N\left( s\right) } = \frac{-{G}_{2}\left( s\right) H\left( s\right) }{1 + {G}_{1}\left( s\right) {G}_{2}\left( s\right) H\left( s\right) } = \frac{-{G}_{2}\left( s\right) H\left( s\right) }{1 + G\left( s\right) H\left( s\right) }
$$
设 ${G}_{1}\left( s\right) = \frac{{K}_{1}{N}_{1}\left( s\right) }{{s}^{{\gamma }_{1}}{D}_{1}\left( s\right) },{G}_{2}\left( s\right) = \frac{{K}_{2}{N}_{2}\left( s\right) }{{s}^{{\gamma }_{2}}{D}_{2}\left( s\right) },{N}_{1}\left( 0\right) = {N}_{2}\left( 0\right) = {D}_{1}\left( 0\right) = {D}_{2}\left( 0\right) = 1, H\left( s\right)$ 是常数,则
$$
{\Phi }_{\mathrm{{EN}}}\left( s\right) = \frac{E\left( s\right) }{N\left( s\right) } = = \frac{-{K}_{2}{s}^{{\gamma }_{1}}{N}_{2}\left( s\right) {D}_{1}\left( s\right) H}{{s}^{{\gamma }_{1} + {\gamma }_{2}}{D}_{1}\left( s\right) {D}_{2}\left( s\right) + {K}_{1}{K}_{2}{N}_{1}\left( s\right) {N}_{2}\left( s\right) H}
$$
> 提高偏差信号和扰动信号之间的前向通路的放大系数 K1 和积分环节个数 γ1 可以减小扰动信号引起的误差。
第 4 章 根轨迹法
4.1 控制系统的根轨迹
- 根轨迹:当闭环控制系统的某一个参数由 0 变化到无穷大时,闭环系统的特征根(闭环极点) 在 s 平面上形成的轨迹。
- 根轨迹法:当系统的某一参数变化时,利用已知的开环极点和零点,绘制闭环特征根的轨迹。
- 绘制根轨迹依据的条件
由负反馈系统的特征方程有
1 + G(s)H(s) = 0 即 |G(s)H(s)|ej/G(s)H(s) = 1 | ㅤ |
幅值条件(必要条件) 相角条件 (充要条件) | |G(s)H(s)| = 1 /G(s)H(s) = ±180∘ + i ⋅ 360∘(i = 0, 1, 2, ⋯) |
通常,将相角条件作为根轨迹的绘制依据,将幅值条件作为确定根轨迹上点对应 k 值的依据。
- 绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式(零极点形式)
$$
G\left( s\right) H\left( s\right) = k\frac{\left( {s - {z}_{1}}\right) \left( {s - {z}_{2}}\right) \cdots \left( {s - {z}_{m}}\right) }{\left( {s - {p}_{1}}\right) \left( {s - {p}_{2}}\right) \cdots \left( {s - {p}_{n}}\right) }\;\left( {n \geq m}\right)
$$
其中 k 为系统根轨迹增益,其与系统开环增益 K (时间常数形式的传递函数分母部分的常数因子)的关系为
$$
K = k\left( {\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}\left( {-{z}_{j}}\right) {\prod }_{i = 1}^{n}\left( {-{p}_{i}}\right) }\right)
$$
4.2 绘制根轨迹的基本规则
序 | 简述 | 详述 |
1 | 起点和终点 | 根轨迹起于开环极点,终于开环零点或无穷远处。 |
2 | 分支数 | 根轨迹的分支数等于特征方程的阶次,即开环、闭环极点个数 |
3 | 连续性与对 称性 | 根轨迹连续且对称于实轴 ( k 连续变化,共轭复根) |
4 | 实轴上的根 轨迹 | 在实轴根轨迹的右侧,开环实数零、极点个数之和为奇数。则在实轴上, 零极点从右往 左数,个数和为奇数段的左侧是根轨迹。 |
5 | 渐近线 | n > m, k → ∞ (存在无穷零点)时,根轨迹有渐近线(n - m)条; 这些渐近线在实轴 上交于一点 σa ${\sigma }_{\mathrm{a}} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{p}_{i} - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{z}_{j}}{n - m}$ 与实轴正方向的夹角 $\left| {s - {\sigma }_{\mathrm{a}} = \frac{{2l} + 1}{n - m}\pi \;\left( {l = 0,1,\cdots , n - m - 1}\right) }\right|$ |
序 | 简述 | 详述 |
6 | 实轴上的分 离点和会合 点 | 在实轴根轨迹段根轨迹上, 两零点 (或零点与无穷远点) 间为会合点, 两极点间为分 离点。且在实轴上的分离点和会合点的坐标应满足方程 $\left| {\frac{\mathrm{d}f\left( s\right) }{\mathrm{d}s} = 0\text{ 即 }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left( \frac{D\left( s\right) }{N\left( s\right) }\right) = 0}\right|$ 在分离点和会和点上,根轨迹的切线与实轴的夹角 θ 与该点上相遇的根轨迹条数 γ 有关 $\theta = \pm \frac{{180}^{ \circ }}{\gamma }$ |
7 | 与虚轴的交 点 | 此时控制系统有位于虚轴上的闭环极点,即特征方程有纯虚根。令 s = jω 可由 $\left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}\left\lbrack {1 + {G}_{k}\left( {j\omega }\right) {H}_{k}\left( {j\omega }\right) }\right\rbrack = 0 \\ \operatorname{Im}\left\lbrack {1 + {G}_{k}\left( {j\omega }\right) {H}_{k}\left( {j\omega }\right) }\right\rbrack = 0 \end{array}\right.$ 求出交点坐标 ω 和参数临界值 kc, k > kc 系统将不稳定 |
ㅤ | ㅤ | 令 Routh 表第一列中包含 k 的项为零,即可确定根轨迹虚轴交点的 k 值。采用 Routh 表中 s 的偶次方行构造辅助方程可得到纯虚根。 |
8 | 出射角与入 射角 | 始于开环复数极点处的根轨迹的出射角 $\left| {{\theta }_{{p}_{1}} = {180}^{ \circ } + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}/{p}_{1} - {z}_{j} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{n}/{p}_{1} - {p}_{i} = {180}^{ \circ } - \left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{n - 1}}{\beta }_{j} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{\alpha }_{i}}\right) }\right|$ 止于开环复数零点处的根轨迹的入射角 $\left| {{\theta }_{{z}_{1}} = {180}^{ \circ } + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}/{z}_{1} - {p}_{i} - \mathop{\sum }\limits_{{j = 2}}^{m}/{z}_{1} - {z}_{j} = {180}^{ \circ } + \left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\beta }_{j} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m - 1}}{\alpha }_{i}}\right) }\right|$ 其中 βj 为开环极点到被测点的角, αi 为开环零点到被测点的角。 |
9 | 闭环极点的 和与积 | 系统的闭环特征方程可表示为 sn + an − 1sn − 1 + ⋯ + a1s + a0 = (s − s1)(s − s2)⋯(s − sn) = 0 则有 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{s}_{i} = - {a}_{n - 1},\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {-{s}_{i}}\right) = a$ |
1 0 | 放大系数 | ${k}_{l} = \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {{s}_{l} - {p}_{i}}\right| /\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}\left| {{s}_{l} - {z}_{j}}\right|$ 当系统无零点时,分母为 1。 |
几点说明:
① 根轨迹的起点是指 k = 0 时的特征根位置,根轨迹的终点是指 k → ∞ 时的特征根位置。
② 根轨迹的渐近线可认为是 k → ∞, s → ∞ 时的根轨迹。
③分离点和会合点的坐标满足的方程 $\frac{\mathrm{d}f\left( s\right) }{\mathrm{d}s} = 0$ 即 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left( \frac{D\left( s\right) }{N\left( s\right) }\right) = 0$ 中,特征方程 f(s) = D(s) + kN(s) ,
$N\left( s\right) = \mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}\left( {s - {z}_{j}}\right) , D\left( s\right) = \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {s - {p}_{j}}\right)$ ,对应开环传函 $G\left( s\right) H\left( s\right) = k\frac{N\left( s\right) }{D\left( s\right) }$ 。
4.3 按根轨迹分析控制系统
控制系统的根轨迹绘制完毕, k 确定之后,即可确定闭环传递函数,进而分析系统的控制性能(稳定性、准确性、快速性)。
例 单位负反馈系统的开环传递函为
$$
G\left( s\right) = \frac{K}{s\left( {{0.5s} + 1}\right) }
$$
用根轨迹法分析开环放大系数 K 对系统性能的影响,计算 K = 5 时系统动态指标。
解:
$$
G\left( s\right) = \frac{K}{s\left( {{0.5s} + 1}\right) } = \frac{2K}{s\left( {s + 2}\right) } = \frac{k}{s\left( {s + 2}\right) }, k = {2K}
$$
K 为任意值时,系统都是稳定的。
当 0 < K < 0.5(0 < k < 1) 时,系统有两个不相等的负实根,系统的动态响应是非震荡的。
当 0.5 < K < ∞(1 < k < ∞) 时,系统有一对共轭复数极点,系统的动态响应是震荡的。
当 K = 5(k = 10) 时,由图知系统的闭环极点为
$$
{s}_{1,2} = - \zeta {\omega }_{\mathrm{n}} \pm j{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}} = - 1 + {j3}
$$
则 ${\omega }_{\mathrm{n}} = \sqrt{10} = {3.16},\zeta = \cos \theta = \frac{1}{3.16} = {0.316},{\sigma }_{\mathrm{p}} = {e}^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}} \times {100}\% = {35}\%$
$$
{t}_{\mathrm{r}} = \frac{\pi - \theta }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}} = \frac{{3.14} - {1.25}}{3} = {0.63}\mathrm{\;s},{t}_{\mathrm{p}} = \frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}} = \frac{3.14}{3} = {1.05}\mathrm{\;s},{t}_{\mathrm{s}} = \frac{3}{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}} = 3\mathrm{\;s}\left( {5\% }\right)
$$
第 5 章 控制系统的频率特性
- 频率特性法:用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法。
- 频率特性法的优点
①具有明显的物理意义；
②计算量很小,采用近似作图法,简单、直观,易于在工程技术中使用；
③可以采用实验的方法求出系统或元件的频率特性。
5.1 频率特性
- 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出考虑一传递函数如下的控制系统
$$
G\left( s\right) = \frac{C\left( s\right) }{R\left( s\right) } = \frac{{b}_{m}{s}^{m} + {b}_{m - 1}{s}^{m - 1} + \cdots + {b}_{0}}{{s}^{n} + {a}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}} = \frac{{b}_{m}{s}^{m} + {b}_{m - 1}{s}^{m - 1} + \cdots + {b}_{0}}{\left( {s - {s}_{1}}\right) \cdots \left( {s - {s}_{n}}\right) }
$$
现输入一正弦信号
$$
r\left( t\right) = R\sin {\omega t}\overset{\mathrm{L} - \text{ Transform }}{ \leftarrow }R\left( s\right) = \frac{R\omega }{{s}^{2} + {\omega }^{2}}
$$
则系统输出可表示为
$$
C\left( s\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{C}_{i}}{s - {s}_{i}} + \frac{B}{s + {j\omega }} + \frac{D}{s - {j\omega }}\xleftarrow[]{\text{ L - Transform }}c\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{C}_{i}{e}^{{s}_{i}t} + \left( {D{e}^{j\omega t} + B{e}^{-{j\omega t}}}\right) = {c}_{\mathrm{t}}\left( t\right) + {c}_{\mathrm{s}}\left( t\right)
$$
其中 ct(t) 是系统的瞬态分量,最后趋于零; cs(t) 是系统的稳态分量;
$$
B = {\left. G\left( s\right) \frac{{A}_{\mathrm{r}}\omega }{{s}^{2} + {\omega }^{2}}\left( s + j\omega \right) \right| }_{s = - {j\omega }} = \frac{\left| G\left( j\omega \right) \right| }{2}{A}_{\mathrm{r}}{e}^{-j\left( {/G\left( {j\omega }\right) - \frac{\pi }{2}}\right) }
$$
$$
D = {\left. G\left( s\right) \frac{{A}_{\mathrm{r}}\omega }{{s}^{2} + {\omega }^{2}}\left( s - j\omega \right) \right| }_{s = {j\omega }} = \frac{\left| G\left( j\omega \right) \right| }{2}{A}_{\mathrm{r}}{e}^{j\left( {G\left( {j\omega }\right) - \frac{\pi }{2}}\right) }
$$
则
$$
{c}_{\mathrm{s}}\left( t\right) = \frac{\left| G\left( j\omega \right) \right| }{2}R\left\lbrack {{e}^{-j\left( {{\omega t} + {\Delta G}\left( {j\omega }\right) - \frac{\pi }{2}}\right) } + {e}^{j\left( {{\omega t} + {\Delta G}\left( {j\omega }\right) - \frac{\pi }{2}}\right) }}\right\rbrack
$$
= |G(jω)|Rsin (ωt + /G(jω))
= Csin (ωt + φ)
其中稳态输出的幅值 C = |G(jω)|R ; 稳态输出的相位 φ = /G(jω) ,即输出信号对输入信号的相移。
> 由此,线性定常系统,在正弦信号作用下,输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。 2. 系统的频率特性 G(jω) = G(s)|s = jω ① 幅频特性
$$
\frac{C}{R} = \left| {G\left( {j\omega }\right) }\right|
$$
② 相频特性
$$
\theta \left( \omega \right) = G\left( {j\omega }\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} \arctan \frac{V\left( \omega \right) }{U\left( \omega \right) }, & U\left( \omega \right) > 0 \\ \pi + \arctan \frac{V\left( \omega \right) }{U\left( \omega \right) }, & U\left( \omega \right) < 0 \end{array}\text{,且 } - \pi < \theta \left( \omega \right) \leq \pi }\right.
$$
其中实频特性 U(ω) 和虚频特性 V(ω) 由下式给出
G(jω) = |G(jω)|ej/G(jω) = |G(jω)|(cos θ + jsin θ)
= U(jω) + jV(jω)
注:1) 负相角称为相位滞后,正相角称为相位超前。 2) 实验表明:正弦输入信号的频率很高时,输出信号的幅值一定很小。 3)实际系统中传递函数分子阶次低于分母阶次。 5.2 典型环节的频率特性 1. 极坐标图(幅相特性图, Nyquist图)及其绘制方法在复数直角坐标或极坐标平面上, ω 由 0 变到 ∞ 时 G(jω) 的轨迹,称为系统的极坐标图,也称 Nyquist 图。 > 法一: 求出模 |GK(jω)| 、相角 /GK(jω) 、实频特性 U(ω) 和虚频特性 V(ω) ,根据特殊点画图。 > 法二: 将 GK(jω) 分解为典型环节,分别求典型环节的极坐标图,最后相乘/相加,即
|GK(jω)| = |G1(jω)| ⋅ |G2(jω)|⋯
$$
\underline{/{G}_{K}\left( {j\omega }\right) } = \underline{/{G}_{1}\left( {j\omega }\right) } + \underline{/{G}_{2}\left( {j\omega }\right) } + \cdots
$$
> 法三:
已知时间常数形式的开环传递函数为
$$
{G}_{k}\left( s\right) = \frac{K\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{l}\left( {{\tau }_{i}s + 1}\right) \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{{\frac{1}{2}\left( {m - l}\right) }}\left( {{\tau }_{i}^{2}{s}^{2} + 2{\zeta }_{i}{\tau }_{i}s + 1}\right) }{{s}^{\gamma }\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{h}\left( {{T}_{j}s + 1}\right) \mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{{\frac{1}{2}\left( {n - \gamma - h}\right) }}\left( {{T}_{j}^{2}{s}^{2} + 2{\zeta }_{j}{T}_{j}s + 1}\right) }
$$
① 在幅相特性的低频段 (ω → 0)
$$
\mathop{\lim }\limits_{{\omega \rightarrow 0}}G\left( {j\omega }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\omega \rightarrow 0}}\frac{K}{{\left( j\omega \right) }^{\gamma }} = \mathop{\lim }\limits_{{\omega \rightarrow 0}}\frac{K}{{\omega }^{\gamma }}/ - \gamma \cdot {90}^{ \circ }
$$
对 0 型系统, γ = 0, |Gk(jω)| = K, /Gk(jω) = 0∘ ; 且当 ω = 0 时, Gk(jω) 过点(K, j0);
对 I 型系统, γ = 1, |Gk(jω)| = ∞, /Gk(jω) = −90∘ ;
且当 ω → 0 时, Gk(jω) 趋于一条平行于虚轴的渐近线
$$
\sigma = \mathop{\lim }\limits_{{\omega \rightarrow {0}^{ + }}}\operatorname{Re}\left\lbrack {G\left( {j\omega }\right) }\right\rbrack
$$
对 II 型系统, γ = 2, |Gk(jω)| = ∞, /Gk(jω) = −180∘ 。
②在幅相特性的高频段 (ω → ∞)
$$
\mathop{\lim }\limits_{{\omega \rightarrow \infty }}G\left( {j\omega }\right) = \left| 0\right| /\left( {n - m}\right) \cdot \left( {-{90}^{ \circ }}\right)
$$
③幅相特性与负实轴和虚轴交点的频率
与负实轴交点的频率
Im [G(jω)] = 0
与虚轴交点的频率
Re [G(jω)] = 0
④如果传函分子中有时间常数(存在零点)时,特性曲线可能出现凹部。
- 对数频率特性图(Bode 图)及其绘制方法
对数频率特性曲线又称伯德 (Bode) 图,包括对数幅频和对数相频两条曲线, 即
对数幅频特性: 20lg |G(jω)| ∼ ω(lg ω)
对数相频特性: /G(jω) ∼ ω(lg ω)
绘制方法:将 G(s) 分解为典型环节,分别求典型环节的 Bode 图,最后相加。
①写成基本环节相乘的形式
G(s) = G1(s) ⋅ G2(s)⋯ ⋅ Gn(s) ⇒ G(jω) = G1(jω) ⋅ G2(jω)⋯ ⋅ Gn(jω)
开环对数幅频特性: 20lg |G(jω)| = 20lg |G1(jω)| + 20lg |G2(jω)| + ⋯ + 20lg |Gn(jω)|
开环对数相频特性: $\underline{/G\left( {j\omega }\right) } = \underline{/{G}_{1}\left( {j\omega }\right) } + \underline{/{G}_{2}\left( {j\omega }\right) } + \cdots + \underline{/{G}_{n}\left( {j\omega }\right) }$
②从低频到高频,计算转折频率与斜率。
③ 绘制最低频段,按开环增益计算 20lg K ,过点 (1, 20lg K) 绘制斜率为 −20γ 的直线,低频段主要由积分环节和放大环节作用。 ④从低频到高频绘制折线渐近线,在转折频率处加上基本环节的斜率。 ⑤对于相频特性,首先找出 ω → 0 和 ω → ∞ 时的相位角,对于各转折频率点,进行适当估计近似绘制即可。 ⑥必要时在转折频率处修正曲线。
- 典型环节的频率特性
- 最小相位系统
①最小相位系统:闭环系统的开环传递函数的极点和零点的实部全部小于或等于零。
②非最小相位系统:闭环系统的开环传递函数具有正实部的极点或零点,或有延迟环节。
③研究最小相位系统的意义
最小相位系统的相位移最小,最容易控制。并且最小相位系统的对数幅频特性和相频特性不是相互独立的, 存在严格的确定关系。
④判断最小相位系统的方法
设系统 (或环节) 传递函数分母的阶次是 n ,分子的阶次是 m ,串联积分环节的个数是 γ 。则对于最小相位系统:
- 当 ω → ∞ 时,幅频特性斜率为 (n − m) ⋅ (−20)dB/dec ,相位等于 (n − m) ⋅ (−90∘) ;
- 当 ω → 0 时,相位等于 −γ ⋅ 90∘ 。
5.3 Nyquist 稳定判据
- Nyquist 稳定判据的特点:利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,并指出稳定的程度。
- Nyquist 稳定判据
①判据表述
已知开环系统特征方程在 s 右半平面根的个数为 P ,开环奈氏曲线 (ω : −∞ → 0 → ∞) 包围点(-1, j0)的圈数为 N ,则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根的个数为 Z ,且有
Z = P − N
若 Z = 0 ,则闭环系统是稳定的; 若 Z ≠ 0 ,则闭环系统是不稳定的。即
当系统开环稳定时,开环 Nyquist 曲线不包围点(-1, j0),则闭环系统是稳定的;
> 当系统开环不稳定且有 P 个不稳定极点时,开环 Nyquist 曲线包围(-1, j0)点 P 圈,则闭环系统是稳定的。 ②开环有积分环节的系统的特殊处理
对于开环有积分环节的系统
$$
{G}_{k}\left( s\right) = \frac{k}{{s}^{\gamma }}{G}_{0}\left( s\right)
$$
由于存在开环临界稳定极点,不能直接使用 Nyquist 稳定判据。此时对 Nyquist 曲线做适当处理:在原点附近, 为了让 Nyquist 曲线不经过原点,构造一个无穷小的半圆 (−jε → ε → jε), ε → 0 。当 s 在 s 平面沿小半圆运动时,映射到 G(s)H(s) 平面上是一个半径为无穷大,从 ω = 0+ 到 ω = 0− 顺时针旋转了 γ ⋅ 180∘ 的大圆弧(对于半 Nyquist 曲线,绘制一个半径为无穷大,从 ω = 0 开始顺时针旋转 γ ⋅ 90∘ 的圆弧)。无穷远处的映射曲线与开环传递函数的 Nyquist 图构成一条闭合曲线, 形成完整的 Nyquist 图。这样就可以由 Nyquist 判据判断系统的稳定性了。
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图 5-1 不同 γ 值时的 Nyquist 图
- γ = 1 时的完全图; (b) γ = 2 时的半图; (c) γ = 3 时的半图
③ 实际使用的 Nyquist 判据
用奈氏判据判断系统稳定性时,一般只须绘制 ω 从 0 → ∞ 时的开环幅相曲线,然后按其包围(-1, j0)点的圈数 N (逆时针为正,顺时针为负) 和开环传递函数在 s 右半平面根的个数 P ,根据公式
Z = P − 2N
来确定闭环特征方程正实部根的个数,如果 Z = 0 ,闭环系统是稳定的。否则,闭环系统是不稳定的。
如果开环传递函数包含积分环节,且假定个数为 N ,则绘制开环极坐标图后,应从 ω = 0+ 对应的点开始, 补作一个半径为 ∞ ,逆时针方向旋转 γ ⋅ 90∘ 的大圆弧增补线,把它视为 Nyquist 曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。
> 闭环系统稳定的充要条件是: 当 ω : 0 → 0+ → ∞ 时,开环 Nyquist 曲线逆时针包围(-1, j0)点 P2 圈。
④ “穿越” 与简捷的稳定判据
1)正穿越:逆时针方向(从上向下)穿过负实轴,相角增加。
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图 5-2 正穿越和负穿越
负穿越:顺时针方向(从下向上)穿过负实轴,相角减小。
- 简捷的稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是: 当 ω : 0 → ∞ ,开环 Nyquist 曲线在(-1, j0) 点左方正、负穿越负实轴次数之差为 P/2 。 5.4 控制系统的相对稳定性
随着参数的变化,系统可能由稳定变为不稳定。我们要求系统具有足够的稳定裕度——相对稳定性,因为动态性能与稳定裕度也有关。开环极坐标图离点(-1, j0)越远,稳定裕度越大。
- 相位裕度
①幅值穿越频率:开环频率特性的幅值为 1 时的角频率 ωc 。
> 在 Nyquist 图中, ωc 为 Nyquist 曲线与单位圆的交点的角频率。
> 在 Bode 图中, ωc 为幅频特性曲线穿越 0 dB 线的频率点。
②相位裕度
相位裕度为开环频率特性在 ωc 处的相位角与 −180∘ 之差,记为 γ ,即
γ = /G(jωc)H(jωc) − (−180∘) = /G(jωc)H(jωc) + 180∘
③ 根据相位裕度确定系统的闭环稳稳定性:对于开环稳定的系统,相位裕度 γ > 0 时闭环稳定,相位裕度 γ < 0 时闭环不稳定。通常要求系统的 γ > 40∘ 。
- 幅值裕度
①相位穿越频率:开环频率特性的相位为 −180∘ 时的角频率 ωg 。
在 Nyquist 图中, ωg 为 Nyquist 曲线与负实轴的交点的角频率。
> 在 Bode 图中, ωg 为相频特性曲线穿越 −180∘ 线的频率点。
②幅值裕度
相位裕度为开环频率特性在 ωg 处的幅值的倒数,记为 Kg ,即
$$
{K}_{\mathrm{g}} = \frac{1}{\left| G\left( j{\omega }_{\mathrm{g}}\right) H\left( j{\omega }_{\mathrm{g}}\right) \right| }
$$
对于 Bode 图
20lg Kg = −20lg |G(jωg)H(jωg)|
当 Kg > 1 或者 20lg Kg > 0(dB) 时称幅值裕度为正。
③ 根据幅值裕度确定系统的闭环稳稳定性:对于开环稳定的系统,幅值裕度为正时闭环稳定,幅值裕度为负时闭环不稳定。通常要求系统的 Kg = 2 ∼ 3.16, 20lg Kg = 6 ∼ 10(dB) 。
④幅值裕度的物理意义:稳定系统变为临界稳定之前系统增益所能放大的倍数。
⑤幅值裕度表示开环 Nyquist 图与负实轴的交点与点(-1, j0)的远近程度。
5.5 开环频率特性与控制系统性能的关系
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图 5-3 控制系统的频域指标
- 控制系统的性能指标
①时域指标
- 稳态指标: 稳态误差 ess ,开环放大系数 K 。
- 动态指标: 过渡过程时间 ts ,最大超调量 σp ,上升时间 tr ,峰值时间 tp , 振荡次数 N 。 ② 频域指标
- 开环指标: 幅值穿越(剪切)频率 ωc ,相位裕度 γ ,幅值裕度 Kg 。
- 闭环指标: 闭环谐振峰值 Mr ,谐振频率 ωr ,截止频率 ωb ,闭环幅值 M(ω) = A(ω)A(0) 。 2. 二阶系统性能指标间的关系
①准确关系式
$$
\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} {\omega }_{\mathrm{c}} = {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{\sqrt{4{\zeta }^{2} + 1} - 2{\zeta }^{2}} \\ \gamma = \arctan \frac{2\zeta }{\sqrt{4{\zeta }^{2} + 1 - 2{\zeta }^{2}}} \\ {\sigma }_{\mathrm{p}} = {e}^{\frac{-{\pi \zeta }}{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}} \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} {M}_{\mathrm{r}} = \frac{1}{{2\zeta }\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}\left( {\zeta < \frac{1}{\sqrt{2}}}\right) \\ {\omega }_{\mathrm{r}} = \omega \sqrt{1 - 2{\zeta }^{2}} \\ {\omega }_{\mathrm{b}} = {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{\sqrt{4{\zeta }^{4}} - 4{\zeta }^{2} + 2} - 2{\zeta }^{2} + 1 \end{array}\right. }\right. \end{array}
$$
②性能指标的分类
- 按阻尼强弱: ζ, σp, γ, Mr 。
- 按响应速度的快慢: ts, ωc, ωr, ωb 。
③高阶系统性能性能指标换算的经验公式
$$
{M}_{\mathrm{r}} = \frac{1}{\sin \gamma }
$$
σp = 0.16 + 0.4(Mr − 1) (1 ≤ Mr ≤ 1.8)
$$
{t}_{\mathrm{s}} = \frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{c}}\left\lbrack {2 + {1.5}\left( {{M}_{\mathrm{r}} - 1}\right) + {2.5}{\left( {M}_{\mathrm{r}} - 1\right) }^{2}}\right\rbrack }\;\left( {1 \leq {M}_{\mathrm{r}} \leq {1.8}}\right)
$$
- 开环对数幅频特性曲线与性能指标间的关系
①低频段:低频段通常是指 20lg |G(jω)| 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段,这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。
②中频段:中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。
③高频段:系统开环对数幅频在高频段的幅值,直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低,系统抗干扰能力越强。
注:三个频段的划分并没有严格的确定准则, 但是三频段的概念, 为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。
第 6 章 控制系统的综合和校正
6.1 控制系统设计的初步概念
- 系统设计:选择系统的结构、元部件、补偿元件和线路,设计补偿网络的参数,使系统满足指标。
- 控制原理的系统设计:选择补偿方法,设计补偿网络的传递函数。也称校正、综合。
- 基本方法: 设计开环对数幅频特性。
①低频段满足放大系数和型别。
②中频段穿越频率足够宽,以 −20dB/dec 过 0dB 线并保持足够长度。
③高频段不特殊设计。 6.3 超前补偿网络——具有正相角的补偿网络
6.2 PID(Proportional-Integral-Derivative, 比例-积分-微分)控制器
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图 6-2 超前补偿网络的 Bode 图
- 超前补偿网络的特性
①传递函数
$$
{G}_{\mathrm{c}}\left( s\right) = \frac{{\alpha Ts} + 1}{{Ts} + 1} = \frac{\frac{s}{{\omega }_{1}} + 1}{\frac{s}{{\omega }_{2}} + 1}\left( {\alpha > 1,{\omega }_{1} < {\omega }_{2}}\right)
$$
$$
\text{其中}\alpha = \frac{{R}_{1} + {R}_{2}}{{R}_{2}} > 1, T = \frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1} + {R}_{2}}C,{\omega }_{1} = \frac{1}{\alpha T},{\omega }_{2} = \frac{1}{T} = \alpha {\omega }_{1}\text{。}
$$
② 相角
$$
/{G}_{\mathrm{c}}\left( {j\omega }\right) = \arctan \left( {\alpha T\omega }\right) - \arctan \left( {T\omega }\right) = \arctan \frac{\left( {\alpha - 1}\right) {T\omega }}{1 + \alpha {T}^{2}{\omega }^{2}} > 0
$$
求导等于零可得最大超前角所在频率
$$
{\omega }_{\mathrm{m}} = \frac{1}{T\sqrt{\alpha }} = \sqrt{{\omega }_{1}{\omega }_{2}}
$$
由此,
$$
\underline{/}{G}_{\mathrm{{cm}}} = \arctan \frac{\alpha - 1}{2\sqrt{\alpha }} = \arcsin \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}
$$
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图 6 − 3/Gcm 和 α 的关系
> 通常取 5 < α < 20, 45∘ < /Gcm < 65∘ 。
③ 补偿网络在 ωm 处增加的幅度
$$
{20}\lg \left| {{G}_{\mathrm{c}}\left( {j{\omega }_{\mathrm{m}}}\right) }\right| = {20}\lg \sqrt{\alpha } = {10}\lg \alpha
$$
- 超前补偿网络设计
①设计原理——对数幅频特性
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图 6-4 超前补偿网络的设计
20lg |Ge| = 20lg |GcG0H| = 20lg |Gc| + 20lg |G0H|
对于 Gc :
- 当 ω < ω1 时, 20lg |Gc| = 0 ;
- 当 ω1 < ω < ω2 时, 20lg |Gc| 的斜率为 20 dB/dec ;
- 当 ω > ω2 时, 20lg |Gc| = 20lg α > 0 。
- γ = 180∘ + /Ge = 180∘ + /Gc + /G0H > 180∘ + /G0H
②设计步骤
- 绘制固有(待设计)部分开环幅频特性 20lg|G0H| 。
- 确定设计好的系统应满足的频域指标 ωc, γ 等。
- 若 20lg |G0H| 在要求的 ωc 频段为 −40 dB/dec ,可用超前补偿。
- 绘制补偿后的对数幅频特性图 20lg |Ge| = 20lg |GcG0H| 及补偿网络对数幅频特性图 20lg |Gc| ,并求出补偿网络数 a, T 或 ω1, ω2 。
- 校核设计后的系统是否满足指标要求。
例 单位负反馈系统固有部分传递函数 ${G}_{0}\left( s\right) = \frac{K}{s\left( {{0.5s} + 1}\right) }, K = {20}{\mathrm{\;s}}^{-1},\gamma \left( {\omega }_{c}\right) > {50}^{ \circ }$ 。设计超前补偿网络。
解: 1) K = 20 ,绘制固有部分的对数幅频特性图,如图中 ABC 。
系统固有部分的 ωc0 = 6.3rad/s, γ0 = 180∘ − 90∘ − arctan 0.5 × 6.3 = 18∘ 系统是稳定的, 但相位裕度不满足要求。
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- 设计后系统的 γ > 50∘ ,对 ωc 没有要求。
- γ − γ0 = 32∘ ,取 ωc > ωc0, ∠Gc = 32∘ ,可用超前补偿网络。
- 求补偿网络参数,使得以 −20 dB/dec 过 0 dB 线。
要使得 2 < ω1 < 6 ,取 ω1 = 4 ,得 D 点。
要使得 DE : −20dB/dec ,取 ωc = 10, E 点对应 ω2 。完整的 20lg |Ge| : ABDEF 。
确定 ω2 的方法: $\mathrm{a})/{G}_{\mathrm{{cm}}} = /{G}_{\mathrm{c}} \Rightarrow \sqrt{{\omega }_{1}{\omega }_{2}} = {\omega }_{\mathrm{c}} = {10} \Rightarrow {\omega }_{2} = {25}$ 。
- 任取 20ω > ω > ω ,如取 ω = 20 。
1
2
c
2
则补偿网络的幅频特性图为 20lg |Gc| = 20lg |Ge| − 20lg |G0|
可得
$$
{G}_{\mathrm{c}}\left( s\right) = \frac{\frac{s}{{\omega }_{1}} + 1}{\frac{s}{{\omega }_{2}} + 1} = \frac{{0.25s} + 1}{{0.05s} + 1} \Rightarrow {G}_{\mathrm{e}}\left( s\right) = \frac{{20}\left( {{0.25s} + 1}\right) }{s\left( {{0.5s} + 1}\right) \left( {{0.05s} + 1}\right) }
$$
- 校核。 K = 20, ω = 10, γ = 52.9 。若相位裕度不满足要求,可增大 ω 或减小 ω 。
c
∘
2
1
第 7 章 现代控制理论
7.1 概述
- 现代控制理论诞生的标志和基础:状态空间法。
- 特点:揭示系统内部的关系和特性,研究和采用优良和复杂的控制方法。
- 适用范围:单变量系统,多变量系统,线性定常系统,线性时变系统,非线性系统。
- 经典经典控制论和现代控制论的对比
ㅤ | 经典控制理论(50 年代前) | 现代控制理论(50 年代后) |
研究对象 | 单输入单输出的线性定常系统 | 可以比较复杂 |
数学模型 | 传递函数(输入、输出描述) | 状态方程(可描述内部行为) |
数学基础 | 运算微积、复变函数 | 线性代数、矩阵理论 |
设计方法的特点 | 非唯一性、试凑成份多,经验起 很大作用。主要在复数域进行。 | 设计的解析性,与计算机结合,主要在时 间域进行。 |
7.2 状态空间法的基本概念
- 基本术语
①状态:时间域中系统的运动信息。
②状态变量:确定系统状态的一组独立(数目最少的)变量,即能完全确定系统运动状态的个数最少的一组变量。
- 知道初始时刻一组状态变量的值及此后的输入变量, 可以确定此后全部状态(变量)的值。
- n 阶微分方程描述的 n 阶系统,状态变量的个数是 n 。
- 状态变量的选取不是唯一的。
③状态向量:由 n 个状态变量组成的向量。
④状态空间:以状态变量为坐标构成的 n 维空间。
⑤状态方程:描述系统状态变量之间及其和输入之间的函数关系的一阶微分方程组。
⑥输出方程:描述系统输出变量与状态变量(有时包括输入)之间的函数关系的代数方程。 ⑦状态空间表达式:状态方程与输出方程的组合。
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图 7-1 状态空间方程的结构框图
2. 单变量线性定常系统的状态空间表达式
一般线性定常系统的状态空间表达式可用向量矩阵表示为
$$
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + {Bu} \\ y = {Cx} + {Du} \end{array}\right.
$$
其中状态向量 ${x}_{n \times 1} = \left\lbrack \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ \vdots \\ {x}_{n} \end{matrix}\right\rbrack$ ,输入向量 ${u}_{r \times 1} = \left\lbrack \begin{matrix} {u}_{1} \\ {u}_{2} \\ \vdots \\ {u}_{r} \end{matrix}\right\rbrack$ ,输出向量 ${y}_{m \times 1} = \left\lbrack \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{m} \end{matrix}\right\rbrack$ ,
系数矩阵 $A = {\left\lbrack \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack }_{n \times n}$ ,输入矩阵 $B = {\left\lbrack \begin{matrix} {b}_{11} & {b}_{12} & \cdots & {b}_{1r} \\ {b}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {b}_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {b}_{n1} & {b}_{n2} & \cdots & {b}_{nr} \end{matrix}\right\rbrack }_{n \times r}$ ,
输出矩阵 $C = {\left\lbrack \begin{matrix} {c}_{11} & {c}_{12} & \cdots & {c}_{1n} \\ {c}_{21} & {c}_{22} & \cdots & {c}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {c}_{m1} & {c}_{m2} & \cdots & {c}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack }_{m \times n}$ ,系统直达矩阵(前馈矩阵) $D = {\left\lbrack \begin{matrix} {d}_{11} & {d}_{12} & \cdots & {d}_{1r} \\ {d}_{21} & {d}_{22} & \cdots & {d}_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {d}_{m1} & {d}_{m2} & \cdots & {d}_{mr} \end{matrix}\right\rbrack }_{m \times r}$
对于单输入单输出系统, m = r = 1 。
7.3 线性定常系统状态空间表达式的建立
- 根据系统工作原理建立状态空间表达式
通常更根据如 KCL、KVL、能量守恒定律等物理规律建立系统的状态空间表达式。指定系统输出时, 可写出系统的输出方程。
例 设输入、输出电压分别为 u1, u2 ,建立系统的状态空间表达式。
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解:①确定状态变量,通常选取与独立储能元件能量有关的变量,或试选与 输出及其导数有关的变量,或任意 n 个相互独立的变量。
选取 u2(t), i(t) 为状态变量,它们与电容和电感的能量有关。 ②依据电路原理列写电路方程。
$$
\left\{ \begin{array}{l} L\frac{\mathrm{d}i\left( t\right) }{\mathrm{d}t} + {Ri}\left( t\right) + {u}_{2}\left( t\right) = {u}_{1}\left( t\right) \\ i\left( t\right) = C\frac{\mathrm{d}{u}_{2}\left( t\right) }{\mathrm{d}t} \end{array}\right.
$$
③列些状态方程和输出方程组。
设 x1(t) = u2(t), x2(t) = i(t) ,输出 y(t) = u2(t) = x1(t) 则
$$
\left\{ {\begin{array}{l} {\dot{u}}_{2}\left( t\right) = \frac{1}{C}i\left( t\right) \\ i\left( t\right) = - \frac{1}{L}{u}_{2}\left( t\right) - \frac{R}{L}i\left( t\right) + \frac{1}{L}{u}_{1}\left( t\right) \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} {\dot{x}}_{1} = & \frac{1}{C}{x}_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = - \frac{1}{L}{x}_{1}\left( t\right) - \frac{R}{L}{x}_{2} + \frac{1}{L}{u}_{1}\left( t\right) & \\ y = {x}_{1} & \end{array}\right. }\right.
$$
④写成向量形式。
$$
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + B{u}_{1} \\ y = {Cx} \end{array}\right.
$$
$$
\text{其中}\dot{x} = \left\lbrack \begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{array}\right\rbrack , x = \left\lbrack \begin{array}{l} {x}_{1} \\ {x}_{2} \end{array}\right\rbrack , A = \left\lbrack \begin{matrix} 0 & \frac{1}{C} \\ - \frac{1}{L} & - \frac{R}{C} \end{matrix}\right\rbrack , B = \left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{L} \end{matrix}\right\rbrack , C = \left\lbrack \begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right\rbrack \text{。}
$$
- 由微分方程和传递函数求状态空间表达式
①微分方程不含输入的导数/传递函数无零点
此时系统的微分方程/传递函数为
y(n) + an − 1y(n − 1) + ⋯ + a1ẏ + a0y = b0u
$$
G\left( s\right) = \frac{Y\left( s\right) }{U\left( s\right) } = \frac{{b}_{0}}{{s}^{n} + {a}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}s + {a}_{0}}
$$
根据微分方程原理,若 y(0), ẏ(0), ⋯, y(n − 1)(0) 及 t ≥ 0 时的输入 u(t) 已知,则微分方程由唯一解,系统在 t ≥ 0 时的运动状态便可完全确定。
选取
x = [xi]n × 1 = [y(i − 1)]n × 1 ⇒ ẋ = [ẋi]n × 1 = [y(n)]n × 1(i = 1, 2, ⋯, n)
且 y(n) = −a0y − a1ẏ − ⋯ − an − 1y(n − 1) + b0u = −a0x1 − a1x2 − ⋯ − an − 1xn + b0u
则可写出 ②微分方程含输入的导数/传递函数有零点
$$
A = {\left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ - {a}_{0} & - {a}_{1} & - {a}_{2} & \cdots & - {a}_{n - 1} \end{matrix}\right\rbrack }_{n \times n}, B = {\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ {b}_{0} \end{matrix}\right\rbrack }_{n \times 1}, C = {\left\lbrack \begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right\rbrack }_{1 \times n}, D = 0
$$
此时系统的微分方程/传递函数为
y(n) + an − 1y(n − 1) + ⋯ + a1ẏ + a0y = bmu(m) + bm − 1u(m − 1) + ⋯ + b1u̇ + b0u
$$
G\left( s\right) = \frac{Y\left( s\right) }{U\left( s\right) } = \frac{{b}_{m}{s}^{m} + {b}_{m - 1}{s}^{m - 1} + \cdots + {b}_{1}s + {b}_{0}}{{s}^{n} + {a}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}s + {a}_{0}}
$$
若选取 x = [xi]n × 1 = [y(i − 1)]n × 1 ,则 ẋn = −a0x1 − a1x2 − ⋯ − an − 1xn + bnu(n) + bn − 1u(n − 1) + ⋯ + b1u̇ + b0u ,若在 t = t0 时输入阶跃函数,方程右边有 δ 函数和高阶 δ 函数,不能唯一确定 x 。(则选取变量时,状态变量的 n 个一阶微分方程中不能有输入变量的倒数)。 选取
x = [xi]n × 1 = [z(i − 1)]n × 1 ⇒ ẋ = [ẋi]n × 1 = [z(n)]n × 1(i = 1, 2, ⋯, n)
则可写出
$$
\begin{array}{l} A = \left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ - {a}_{0} & - {a}_{1} & - {a}_{2} & \cdots & - {a}_{n - 1}{b}_{n \times n} \end{matrix}\right\rbrack , B = \left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right\rbrack , m = 1, \\ C = \left\{ {{\left\lbrack \begin{array}{llllll} {b}_{0} & \cdots & {b}_{m} & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right\rbrack }_{1 \times n},\;m < n,}\right. \\ C = \left\{ {\begin{array}{l} {b}_{0} - {a}_{0}{b}_{n}{b}_{1} - {a}_{1}{b}_{n}\cdots {b}_{n - 1} - {a}_{n - 1}{b}_{n}{\rbrack }_{1 \times n}, \end{array}\;m = n}\right. , D = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & m < n \\ {b}_{n}, & m = n \end{array}\right. \end{array}
$$
将系统函数拆分成分子分母分别作用,引入中间变量 z ,则
019575b6-1bb0-7934-bb5a-2c35ba9f208d_25_296_532_1054_192_0.jpg
3. 状态变量的非唯一性和特征值不变性
①状态变量的非唯一性同一系统的状态向量中变量个数是一定的, 等于系统的阶数。但状态变量选取方法多样, 对应的系数矩阵 A 的元素也不完全相同。
②特征值不变性
- 对 n 阶方阵 A, det (sI − A) = |sI − A| (det, determinant,行列式) 为系统或矩阵 A 的特征多项式。
- det (sI − A) = |sI − A| = 0 为系统或矩阵 A 的特征方程,方程根为系统或矩阵 A 的特征根,对于单变量控制系统,特征根就是传函的极点。
- 一个系统的状态向量 x 经过线性非奇异变换 z = Px(|P| ≠ 0) 后得到向量 z 也是这个系统的状态向量。
- 可以证明, 一个系统可以有不同状态变量和不同系数矩阵, 但这些系数矩阵的特征值完全相同。
- 由状态空间表达式求传递函数
考虑状态空间表达式
$$
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + {Bu} \\ y = {Cx} + {Du} \end{array}\right.
$$
假设相应变量的初始条件为零,对上式做拉氏变换,得
$$
\left\{ {\begin{array}{l} {sX}\left( s\right) = {AX}\left( s\right) + {BU}\left( s\right) \\ Y\left( s\right) = {CX}\left( s\right) + {DU}\left( s\right) \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} X\left( s\right) = {\left\lbrack sI - A\right\rbrack }^{-1}{BU}\left( s\right) \\ Y\left( s\right) = \left( {C{\left\lbrack sI - A\right\rbrack }^{-1}B + D}\right) U \end{array}\right. }\right.
$$
则系统的传递函数
$$
G\left( s\right) = \frac{Y\left( s\right) }{U\left( s\right) } = C{\left\lbrack sI - A\right\rbrack }^{-1}B + D
$$
7.4 线性定常系统的运动分析
- 线性定常系统的解
系统响应=零输入响应+零状态响应
①线性定常系统的时域解
n 阶单输入线性定常系统的非齐次方程为
ẋ(t) = Ax(t) + B(t) ⇒ ẋ(t) − Ax(t) = B(t)
两端同时左乘 e−At
$$
{e}^{-{At}}\left\lbrack {\dot{x}\left( t\right) - {Ax}\left( t\right) }\right\rbrack = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\lbrack {{e}^{-{At}}x\left( t\right) }\right\rbrack = {e}^{-{At}}B\left( t\right)
$$
从初始时刻 t = 0 开始进行积分
e−Atx(t) = x(0) + ∫0te−AτBu(τ)dτ
两端同时左乘 eAt
x(t) = eAtx(0) + ∫0teA(t − τ)Bu(τ)dτ
$$
= \underset{\text{零输入响应 }}{\underbrace{\varphi \left( t\right) x\left( 0\right) }} + \underset{\text{零状态响应 }}{\underbrace{{\int }_{0}^{t}\varphi \left( {t - \tau }\right) {Bu}\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }}
$$
其中 φ(t) 为系统的状态转移矩阵,对线性定常系统 φ(t) = eAt 又称矩阵指数函数。
> 若取初始时刻为 t0 ,则 x(t) = φ(t − t0)x(t0) + ∫t0tφ(t − τ)Bu(τ)dτ
② 线性定常系统的 s 域解
n 阶单输入单输出线性定常系统的非齐次方程及其单边 Laplace 变换为
$$
\dot{x}\left( t\right) = {Ax}\left( t\right) + {Bu}\left( t\right) \xleftarrow[\text{ Laplace Transformn }]{\text{ One Side }}{sX}\left( s\right) - x\left( 0\right) = {AX}\left( s\right) + {BU}\left( s\right)
$$
整理得
(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s)
两边左乘 (sI − A)−1
X(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1BU(s)
= Φ(s)x(0) + Φ(s)BU(s)
Laplace ↕ Tranform
$$
x\left( t\right) = \underset{\text{零输入响应 }}{\underbrace{\varphi \left( t\right) x\left( 0\right) }} + \underset{\text{零状态响应 }}{\underbrace{{\int }_{0}^{t}\varphi \left( {t - \tau }\right) {Bu}\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }}
$$
下面说明 $\varphi \left( t\right) = {e}^{At}\xleftarrow[]{\text{ Laplace Transformn }}{\left( sI - A\right) }^{-1} = \Phi \left( s\right)$ :
. .
$$
\left( {{sI} - A}\right) \left( {\frac{I}{s} + \frac{A}{{s}^{2}} + \frac{{A}^{2}}{{s}^{3}} + \cdots + \frac{{A}_{k}}{{s}^{k + 1}} + \cdots }\right) = I
$$
∴
$$
{\left( sI - A\right) }^{-1} = \frac{I}{s} + \frac{A}{{s}^{2}} + \frac{{A}^{2}}{{s}^{3}} + \cdots + \frac{{A}_{k}}{{s}^{k + 1}} + \cdots
$$
∴
$$
{L}^{-1}\left\lbrack {\left( sI - A\right) }^{-1}\right\rbrack = I + {At} + \frac{1}{2!}{A}^{2}{t}^{2} + \cdots + \frac{1}{k!}{A}^{k}{t}^{k} + \cdots = {e}^{A{t}_{\text{(Fourier Series) }}}
$$
其中 Φ(s) = (sI − A)−1 为系统的预解矩阵。
- 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(类似指数函数的性质)
① $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{At} = A{e}^{At} = {e}^{At}A$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi \left( t\right) = {A\varphi }\left( t\right) = \varphi \left( t\right) A
$$
② eAt|t = 0 = I
φ(t)|t = 0 = φ(0) = I
③ (eAt)−1 = e−At
φ−1(t) = φ(−t)
27
④ eA(t1 + t2) = eAt1eAt2
φ(t1 + t2) = φ(t1)φ(t2)
⑤ (eAt)n = enAt(n ∈ N+)
φn(t) = φ(nt)(n ∈ N+)
⑥ * 若对于矩阵 A, B 有 AB = BA ,则 e(A + B)t = eAteBt 。
⑦ 若矩阵 P 非奇异(满秩,行列式不为 0 ),则 eP−1APt = P−1eAtP 。
3. 状态转移矩阵的求取
① A 为对角阵时
$$
A = \operatorname{diag}\left\lbrack {{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} {\lambda }_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {\lambda }_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\lambda }_{n} \end{matrix}\right\rbrack \Rightarrow {e}^{At} = \operatorname{diag}\left\lbrack {{e}^{{\lambda }_{1}t},{e}^{{\lambda }_{2}t},\cdots ,{e}^{{\lambda }_{n}t}}\right\rbrack
$$
②*A 为 Jordan 矩阵时
$$
A = {\left\lbrack \begin{matrix} \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{matrix}\right\rbrack }_{n \times n} \Rightarrow {e}^{At} = \left\lbrack \begin{matrix} {e}^{\lambda t} & t{e}^{\lambda t} & \cdots & \frac{{e}^{\lambda t}}{\left( {n - 1}\right) !}{t}^{n - 1} \\ 0 & {e}^{\lambda t} & \ddots & \frac{{e}^{\lambda t}}{\left( {n - 2}\right) !}{t}^{n - 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & t{e}^{\lambda t} \\ 0 & 0 & \cdots & {e}^{\lambda t} \end{matrix}\right\rbrack
$$
③利用 Laplace 反变换求取
eAt = L−1[(sI − A)−1]
7.5 线性系统的可控性与可观测性
经典控制理论用传递函数作为数学模型, 来描述系统输入和输出特性。只要系统稳定, 输出变量便可以受控制,且可被测量,因此没提出可控性和可观测性的概念。
在状态空间法中, 对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化。可控性和可观测性的概念, 就回了答 “系统的输入是否能控制状态的变化”和“状态的变化能否由输出反映出来”这两个问题。
- 线性定常系统的可控性与可控性判据
①线性定常系统的可控性:给定输入时,系统能在有限时间内使系统从任一初始状态(始态)转移到任一希望状态 (终态), 称系统的状态完全可控。否则系统不可控。
②可控性判据
n 阶单输入线性定常系统 ẋ = Ax + Bu 完全可控的充要条件是
$$
\operatorname{rank}\left( {Q}_{k}\right) = \operatorname{rank}{\left\lbrack \begin{array}{llll} B & {AB} & \cdots & {A}^{n - 1}B \end{array}\right\rbrack }_{n \times n} = n
$$
det (Qk) = |Qk| ≠ 0
即矩阵 Qk 满秩,其中 rank 代表矩阵的秩, ${Q}_{k} = {\left\lbrack \begin{array}{llll} B & {AB} & \cdots & {A}^{n - 1}B \end{array}\right\rbrack }_{n \times n}$ 称为系统的可控性矩阵。
- 线性定常系统的可观测性与可观测性判据
①线性定常系统的可观测性:给定输入时,能在有限时间内由系统输出和输入能唯一确定系统的初始状态,则称系统是可观测的。否则是不可观测的。
②可观测性判据
n 阶单输入线性定常系统 ẋ = Ax + Bu 完全可控的充要条件是
$\operatorname{rank}\left( {Q}_{g}\right) = \operatorname{rank}{\left( {\left\lbrack \begin{array}{llll} C & {CA} & \cdots & C{A}^{n - 1} \end{array}\right\rbrack }^{T}\right) }_{n \times n} = \operatorname{rank}{\left\lbrack \begin{array}{llll} {C}^{T} & {A}^{T}{C}^{T} & \cdots & {\left( {A}^{T}\right) }^{n - 1}{C}^{T} \end{array}\right\rbrack }_{n \times n} = n$
↑
det (Qg) = |Qg| ≠ 0
即矩阵 Qg 满秩,其中 T 代表矩阵转置, ${Q}_{g} = {\left( {\left\lbrack \begin{array}{llll} C & {CA} & \cdots & C{A}^{n - 1} \end{array}\right\rbrack }^{T}\right) }_{n \times n}$ 称为系统的可观测性矩阵。
3. 对偶原理
①线性系统的对偶关系
设由两个 n 阶线性定常系统 S1, S2 的状态空间表达式分别为
$$
{S}_{1} : \left\{ {\begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + {Bu} \\ y = {Cx} \end{array}\;{S}_{2} : \left\{ \begin{array}{l} \dot{z} = {A}^{T}z + {C}^{T}v \\ w = {B}^{T}z \end{array}\right. }\right.
$$
则称 S1, S2 为对偶系统。且注意到
$$
{Q}_{k1} = {Q}_{g2} = \left\lbrack \begin{array}{llll} B & {AB} & \cdots & {A}^{n - 1}B \end{array}\right\rbrack
$$
$$
{Q}_{k2} = {Q}_{g1} = \left\lbrack \begin{array}{llll} {C}^{T} & {A}^{T}{C}^{T} & \cdots & {\left( {A}^{T}\right) }^{n - 1}{C}^{T} \end{array}\right\rbrack
$$
|sI − A| = |sI − AT| = 0 (特征方程)
即系统 1 的可控性 (可观测性)矩阵与系统 2 可观测性 (可控性)矩阵相同,且互为对偶系统的特征方程相同。 ②对偶原理
如果系统 1 和系统 2 是互为对偶的两个系统, 则系统 1 的可控性与对偶系统 2 的可观测性相同; 而系统 1 的可观测性与对偶系统 2 的可控性相同。
7.6 线性系统的状态反馈与极点配置
1. 状态反馈
经典控制理论用输出量作为反馈量; 现代控制理论除了用输出量反馈, 广泛用状态作为反馈。获得优良的控制性能。本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。设 n 阶线性定常可控系统的动态方程为
$$
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + {Bu} \\ y = {Cx} \end{array}\right.
$$
将系统的控制规律选为
u = r − Kx
其中 r 为 p × 1 维的参考输入, K 为 p × n 维的反馈增益矩阵,对单输入系统, p = 1 。可以证明,状态反馈不改变系统的可控性,但有可能改变系统的可观测性。
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图 7-2 状态反馈的结构图
则系统的状态方程可写为
ẋ = (A − BK)x + Br
> 闭环系统的为系数矩阵为(A - BK)。
> 闭环特征方程为 |sI − (A − BK)| = 0 ,通过改变 K 的各个分量值,可以自由地改变闭环系统的极点。 2. 极点配置
① 极点配置的充要条件:系统(A, B)的状态完全可控(配置极点前判断系统是否完全可控)。
②极点配置的方法
设状态可控的系统的系统矩阵和控制矩阵分别为
$$
A = \left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ - {a}_{0} & - {a}_{1} & - {a}_{2} & \cdots & - {a}_{n - 1} \end{matrix}\right\rbrack , B = \left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right\rbrack
$$
设状态反馈矩阵 $K = \left\lbrack \begin{array}{llll} {k}_{0} & {k}_{1} & \cdots & {k}_{n - 1} \end{array}\right\rbrack$ ,则引入反馈后的系统矩阵和控制矩阵为
$$
A - {BK} = \left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ - \left( {{a}_{0} + {k}_{0}}\right) & - \left( {{a}_{1} + {k}_{1}}\right) & - \left( {{a}_{2} + {k}_{2}}\right) & \cdots & - \left( {{a}_{n - 1} + {k}_{n - 1}}\right) \end{matrix}\right\rbrack , B = \left\lbrack \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right\rbrack
$$
闭环系统的特征多项式为
|sI − (A − BK)| = sn + (an − 1 + kn − 1)sn − 1 + ⋯ + (a1 + k1)s + (a0 + k0)
易知状态反馈改变了系统的闭环多项式和系统极点。若希望的闭环极点是 λi ,则希望的特征多项式为
$$
\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {s - {\lambda }_{i}}\right) = {s}^{n} + {b}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}s + {b}_{0}
$$
令两式对应项的系数相等, 有
$$
\left\{ {\begin{array}{l} {a}_{n - 1} + {k}_{n - 1} = {b}_{n - 1} \\ {a}_{n - 2} + {k}_{n - 2} = {b}_{n - 2} \\ \vdots \\ {a}_{0} + {k}_{0} = {b}_{0} \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k}_{n - 1} = {b}_{n - 1} - {a}_{n - 1} \\ {k}_{n - 2} = {b}_{n - 2} - {a}_{n - 2} \\ \vdots \\ {k}_{0} = {b}_{0} - {a}_{0} \end{array}\right. }\right.
$$
> 特别地,当系统矩阵是 $A = \left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ - {a}_{0} & - {a}_{1} & - {a}_{2} & \cdots & - {a}_{n - 1} \end{matrix}\right\rbrack$ 的标准形式时,令
状态反馈前的系统特征多项式为 sn + an − 1sn − 1 + ⋯ + a1s + a0 = 0
状态反馈后的系统特征多项式为 sn + bn − 1sn − 1 + ⋯ + b1s + b0 = 0
则状态反馈系数是量特征多项式对应系数之差, 即此时
$$
K = \left\lbrack \begin{array}{llll} {b}_{0} - {a}_{0} & {b}_{1} - {a}_{1} & \cdots & {b}_{n - 1} - {a}_{n - 1} \end{array}\right\rbrack
$$
7.7 状态观测器
现代控制理论的系统设计要用到状态反馈。为了实现状态反馈, 须对状态变量进行测量, 但在实际系统中, 并不是所有的状态变量都能测量到的, 这就要设法利用已知的信息(输入量及输出量), 通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器就是对象的仿真装置, 进而用状态逼近实际对象的状态。
- 全维状态观测器
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与原系统维数相同的观测器称为全维观测器。考虑 n 阶线性定常可观测系统及其状态观测器
$$
\left\{ {\begin{array}{l} \dot{x} = {Ax} + {Bu} \\ y = {Cx} \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} {\dot{x}}_{g} = A{x}_{g} + {Bu} \\ {y}_{g} = C{x}_{g} \end{array}\right. }\right.
$$
并且通过负反馈将引入修正项 G(yg − y) ,则观测器的状态方程可写为
ẋg = Axg + Bu − G(yg − y)
= (A − GC)xg + Bu + Gy
则观测器的系数矩阵为(A - GC),且有
ẋ − ẋg = (A − GC)(x − xg)
可以证明,只要(A - GC)的特征值都有负实部,则系统稳定,且
$$
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\left\lbrack {x\left( t\right) - {x}_{g}\left( t\right) }\right\rbrack = 0
$$
即可由观测器观测实际系统的状态。
> 观测器的特征方程为 |sI − (A − GC)| = 0 ,通过改变 G 的各个分量值,可以自由地改变观测器的极点,使观测器满足需求。
- 全维状态观测器的特征值配置
①观测器特征值可任意配置的充要条件:系统(A, C)的状态完全可观测(配置前判断观测器是否完全可观测)。
②配置观测器特征值的方法
设状态可观测的系统的系统矩阵和输出矩阵分别为 An × n 和 C1 × n ,设反馈矩阵,则引入反馈后的观测器的特征多项式为
|sI − (A − GC)|
若希望的权威观测器极点是 λi ,则其特征多项式为
$$
\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {s - {\lambda }_{i}}\right) = {s}^{n} + {b}_{n - 1}{s}^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}s + {b}_{0}
$$
令两式对应项的系数相等可求出 g0, g1, ⋯, gn − 1 。
3. 分离原理
用状态观测器的状态进行反馈的系统中,只要系统满足(A, B)可控,(A, C)可观测,状态反馈的设计和状态观测器的设计可以相互独立的进行。
1. 余子式和代数余子式
在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后,留下的 n − 1 阶行列式叫做元素 aij 的余子式, 记作 Mij 。将 Aij = (−1)i + jMij 称为元素 aij 的代数余子式。
e.g.
$$
\left| D\right| = \left| \begin{array}{llll} {a}_{11} & {a}_{12} & {a}_{13} & {a}_{14} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & {a}_{23} & {a}_{24} \\ {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{33} & {a}_{34} \\ {a}_{41} & {a}_{42} & {a}_{43} & {a}_{44} \end{array}\right| \Rightarrow {M}_{23} = \left| \begin{array}{lll} {a}_{11} & {a}_{12} & {a}_{14} \\ {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{34} \\ {a}_{41} & {a}_{42} & {a}_{44} \end{array}\right| ,{A}_{23} = {\left( -1\right) }^{2 + 3}{M}_{23} = - {M}_{23}
$$
2. 行列式按行 (列) 展开
矩阵行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式之和, 即
$$
\det \left( {B}_{m \times n}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}{A}_{ij}
$$
e.g.
$$
\left| D\right| = \left| \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ 5 & - 7 & 0 \end{matrix}\right| \xrightarrow[]{\text{ 按第一行展开 }}1 \times {\left( -1\right) }^{1 + 1}\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ - 7 & 0 \end{matrix}\right| + \left( {-1}\right) \times {\left( -1\right) }^{1 + 2}\left| \begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{array}\right| + 0 \times {\left( -1\right) }^{1 + 3}\left| \begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{array}\right|
$$
= 28 − 20 = 8
3. 伴随矩阵
设 n 阶方阵 A = (aij)n × n, Aij 为 aij 的的代数余子式,定义 A 的伴随矩阵为
$$
{A}^{ * } = \left\lbrack \begin{matrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack
$$
注意伴随矩阵中代数余子式的下标。
4. 矩阵可逆的充要条件(求逆)
矩阵 A 的充要条件是 A 非奇异,即 A 满秩,即 A 的行列式为零 (|A| = 0) 。当 A 可逆时,有
$$
{A}^{-1} = \frac{1}{\left| A\right| }{A}^{ * }
$$
e.g.
$$
{B}^{-1} = {\left\lbrack \begin{matrix} s & - 1 & 0 \\ 0 & s & - 1 \\ 5 & 3 & s + 2 \end{matrix}\right\rbrack }^{-1} = \frac{{B}^{ * }}{\left| B\right| } = \frac{\left\lbrack \begin{matrix} {s}^{2} + {2s} + 3 & s + 2 & 1 \\ - 5 & s\left( {s + 2}\right) & s \\ - {5s} & - \left( {{3s} + 5}\right) & {s}^{2} \end{matrix}\right\rbrack }{{s}^{3} + 2{s}^{2} + {3s} + 5}
$$
- Author:推半
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